Чи означає рівномірна конвергенція безперервність?

Однією з найважливіших властивостей рівномірної збіжності є те, що він зберігає спадкоємність. Ми використовуємо аргумент «ϵ/3», щоб отримати неперервність рівномірної межі f з неперервності fn.

Це говорить нам про це якщо ми маємо послідовність функцій, які є рівномірно неперервними і вони збігаються рівномірно, то функція, до якої вони збігаються, також повинна бути рівномірно неперервною.

Збіжність — властивість послідовностей у метричному (або топологічному) просторі; неперервність — властивість функцій від одного метричного/топологічного простору до іншого. Ви можете розглядати послідовність як функцію від натуральних чисел ω:={0,1,2,…}

x, y ∈ A та | x − y |< δ означають | f(x) − f(y) |< ε. Попереднє обговорення мотивує таке визначення. Ясно рівномірна безперервність передбачає безперервність але зворотне не завжди вірно, як видно з прикладу 1. Тому f рівномірно неперервна на [a, b].

Ми маємо функцію f і послідовність функцій fn, обидві на [a,b]→R. fn неперервна для кожного n∈N, і fn поточково збігається до f.

Однією з найважливіших властивостей рівномірної збіжності є те, що він зберігає спадкоємність. Ми використовуємо аргумент «ϵ/3», щоб отримати неперервність рівномірної межі f з неперервності fn. Теорема 5.16.

Прямий наслідок теореми 8.3. 3 це так якщо поточково і кожен неперервний, то якщо розривний, то збіжність не може бути рівномірною.