Що таке нільпотентна матриця з прикладом?
2024Нільпотентною матрицею є квадратна матриця, яка має однакову кількість рядків і стовпців, а також вона задовольняє множення матриць. Наприклад, якщо «P» є нільпотентною матрицею порядку «2 × 2», то її квадрат має бути
.24 березня 2023 р
Нільпотентна матриця — це квадратна матриця, така що добуток матриці на саму себе дорівнює нульовій матриці. Квадратну матрицю M порядку n × n називають нільпотентною матрицею, якщо Mk = 0. Тут k є показником ступеня нільпотентної матриці та є меншим або дорівнює порядку матриці (k < n).
Розв’язання: дана матриця має порядок 3 x 3. Отже, щоб стати нільпотентною матрицею, або квадрат, або куб матриці повинні бути нульовою матрицею. Отже, A2=[031000000][131000000]=[000000000].
Відповідь: для матриці А формула для нільпотентної матриці така Ak = 0. Багато разів множення матриці A на саму себе дорівнює нульовій матриці. Показник ступеня дорівнює k, а значення k для матриці A порядку n n менше / дорівнює n.
Трохи доповнивши відповідь, матриця є нільпотентною тоді і тільки тоді, коли її єдиним власним значенням є нуль, тож навіть якщо ми обмежимося сингулярними матрицями, все одно буде дуже мало нільпотентів. Якщо A є n×n нільпотентним, то ви завжди маєте An=0.
Дві нільпотентні матриці A і B порядку 3 подібні тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий показник нільпотентності.. Це тому, що вони мають однакове власне значення λ = 0, і існує неособлива матриця Q, така що A = QBQ^(-1).
Усі власні значення нільпотентної матриці мають бути нульовими (це можна побачити, взявши степені Йорданської канонічної форми). Нормальна матриця є діагоналізованою. Отже, A=UΛUH, де Λ — діагональна матриця, що містить власні значення на діагоналі. Але Λ має дорівнювати нулю, оскільки A є нільпотентним.