Що таке замкнута підмножина кофінітної топології?

Кофінітна топологія (іноді її називають топологією кінцевого доповнення) — це топологія, яку можна визначити на кожному наборі. як відкриті набори

. Як наслідок, у кофінітній топології є єдині замкнуті підмножини скінченні множини, або весь. Символічно топологію записують як.

Приклад: якщо X має кофінітну топологію, то закриті множини є такими всі скінченні множини і сам X. Приклад: якщо X є набором із заданою дискретною топологією, то всі підмножини є як відкритими, так і закритими.

За визначенням, підмножина топологічного простору називається замкнутою, якщо її доповнення є відкритою підмножиною. ; тобто якщо. Множина є замкнутою тоді і тільки тоді, коли вона дорівнює її замкнутості. Еквівалентно, множина є замкнутою тоді і тільки тоді, коли вона містить усі свої граничні точки.

Коскінцева топологія на X — це топологія, де відкриті множини є точно доповненнями скінченних підмножин X і порожньої множини. Отже, відкриті множини мають форму Aᶜ, де A є скінченною підмножиною X або порожньою множиною.

«На дійсній лінії, ℝ, визначте топологію, відкриті множини якої є порожня множина та кожна множина в ℝ зі скінченним доповненням. Наприклад, U = ℝ −{0, 3, 7} є відкритою множиною. Ми називаємо цю топологію скінченною топологією доповнення на ℝ і позначаємо її як ℝfc."

Кофінітна топологія (іноді її називають топологією кінцевого доповнення) є топологія, яка може бути визначена на кожному наборі. Він має точно порожню множину та всі кофінітні підмножини. як відкриті набори. Як наслідок, у кофінітній топології єдиними закритими підмножинами є скінченні множини або ціле.

1. Якщо набір містить усі свої граничні точки, то він закритий.
2. Нехай A — множина, а A' — множина всіх її граничних точок.
3. Ідея доказу така –
4. Нехай y — гранична точка A'. …
5. .
6. Тепер, оскільки y є граничною точкою A', є одна x€A', яка є "дуже близькою" до y.
7. тобто для будь-якого r>0.
8. ● d(x,y) < r/2.