Чому зовнішній продукт займає 1 ранг?

Ранг зовнішнього продукту Дійсно, всі колонки зовнішнього продукту пропорційні першій колонці. Таким чином, усі вони лінійно залежать від одного стовпця, отже, матриця має ранг один.

Ранг A — це найменше число k таке, що A можна записати як суму k матриць рангу 1, де матриця визначена як така, що має ранг 1 тоді і тільки тоді, коли її можна записати як ненульовий добуток. вектора-стовпця c і вектора-рядка r.

Зовнішній добуток — це тензорний добуток двох векторів u=[u1,u2,…,um] u = [ u 1 , u 2 , … , u m ] і v=[v1,v2,…,vn], v = [ v 1 , v 2 , … , v n ] , що позначається як u⊗v, u⊗v, є матрицею W розміром m на n, що її координати задовольняють wi,j=uiv∗j. w i , j = u i v j ∗ .

Матриця A має лише один лінійно незалежний рядок, тому її ранг дорівнює 1. Отже, матриця A не має повного рангу.

Матрицею рангу один є yxT додатний напіввизначений, якщо y є додатним скалярним кратним x.

Ранг зовнішнього продукту Якщо обидва u і v не дорівнюють нулю, то матриця зовнішнього добутку uvT завжди має ранг матриці 1. Дійсно, усі стовпці зовнішнього продукту пропорційні першому стовпцю. Таким чином, усі вони лінійно залежать від одного стовпця, отже, матриця має ранг один.

: бути відмінним у тому, що ти робиш.